以年全国卷文科第题为例谈数学研究性学习 - 文科爱好者(教育教学)杂志社投稿

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以年全国卷文科第题为例谈数学研究性学习

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摘要：

数学研究性学习是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察、分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.研究性学习是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，体验创造的激情，树立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出和解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力.研究性学习的一般步骤是：提出问题（起点）；解决问题（重点）；推广问题（难点）；应用结论（升华点）.笔者将以2019年全国卷Ⅰ文科第16题为例对数学研究性学习进行说明.

一、提出问题

数学家波利亚指出，问题是数学的心脏.对于数学学科而言，在研究性学习时提出问题主要是指对某些数学问题的深入探讨.所提问题不能过偏过难，要是学生通过努力可以解决的.研究性学习问题要满足以下五个课题选取的原则：

1.问题题材选取的典型性；

2.问题开展研究的可行性；

3.问题解决路径的多样性；

4.问题拓展方向的多向性；

5.问题研究成果的应用性.

二、解决问题

［试题］已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为______.

分析：如图1所示，设点P在平面ABC上的投影为点O，作PE，PF分别垂直于CA，CB，连接OC，OE，OF.由题意可知PE=PF=，PC=2.对问题中的点P进行平面上的投影，转化成平面几何或是空间几何问题求解，可以较方便地对问题进行求解和变式推广探究.

图1

解法1：如图1 所示，由题意可知PE=PF=，PC=2；由于PE与PF为点P到∠ACB两边AC，BC的距离，易得CE=CF=1，则CO=，点P到平面ABC的距离为线段PO的长度，即P到平面ABC的距离为.

解法2：如图1 所示，由题意可知PE=PF=，PC=2.则∠CEP=∠CFP=60°，则OE=OF=1，且∠ACB=90°，则四边形AOBC为正方形，CO为其对角线，则∠OCA=∠OCB=45°.由“最小角定理”可知cos∠ACP=cos∠ACO·cos∠PCO，则∠PCO=45°.所以P到平面ABC的距离为.

图2

解法3：如图1 所示，由于点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，点P在平面ABC上的投影点O在∠ACB的角平分线上，由于∠ACB=90°，则四边形AOBC为正方形，所以四棱锥P-AOBC为直四棱锥，如图2 所示.作直四棱锥P-AOBC的外接球，则线段PC为外接球直径，点O为外接球表面上的点，且PE=PF=，则弦PO=，所以P到平面ABC的距离为.

解法4：设点P在平面ABC上的投影为点O，作PE，PF分别垂直于CA，CB.连接OC，OE，OF.以OF为x轴，EO为y轴，OP为z轴建立如图3 所示的空间直角坐标系.设P点坐标为(0,0,z)，由题意可知PE=PF=，PC=2，易得CE=CF=1，所以点C，E，F的坐标分别为(1,-1,0)，(0,-1,0)，(1,0,0).根据两点间的距离公式得P(0,0,).则PO=z=，所以P到平面ABC的距离为.

图3

解法5：如图4，设点P在平面ABC上的投影为点O，作PE，PF分别垂直于CA，CB.连接OC，OE，OF，EF.过点O作EF的平行线AB.因为PE=PF=，PC=2，所以CE=CF=1.易得△EPF，△APB，△ACB均为等腰三角形，由于∠ACB=90°，所以易得AE=EC=CF=BF=1，AB=2，∠PCB=∠PCA=60°，则△PCA与△PCB为等边三角形，所以PA=PB=2，则PO=.故P到平面ABC的距离为

图4

图5

解法6：如图5 所示，设点P在平面ABC上的投影为点O，作PE，PF分别垂直于CA，CB.连接OC，OE，OF，过点F作CO的垂线段HF.由题意可知PE=PF=，PC=2，则∠CEP=∠CFP=60°，则OE=OF=1，且∠ACB=90°，则四边形AOBC为正方形，四棱锥P-AOBC为直四棱锥，所以VP-AOBC=2VF-PCO，其中CO=2，∠PCO=45°，即PO·OE·OF=2×，所以PO=.故P到平面ABC的距离为

评注：在立体几何问题中，运用投影、等体积，建立空间直角坐标系等方法是解决问题的常用方法.找准问题的本质以及所要求的量，利用已知条件建立等量关系可以有效地解决问题.解法1 通过已知边的长度以及各线段所处的位置，运用“勾股定理”“三角函数”以及“正弦定理”等将其之间的关系等式化，求出P到平面ABC的距离就相对轻松.

三、推广问题

推广1：三余弦定理

设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，则∠OAC，∠BAC，∠OAB三角的关系为：cos∠OAC=cos∠BAC× cos∠OAB（其中∠BAC与∠OAB皆是锐角）.

文章来源：《文科爱好者(教育教学)》网址: http://www.wkahzzzs.cn/qikandaodu/2021/0321/782.html